偏差値とは何か?わかりやすく解説

偏差値とは何か? 知っているようで、知らないような偏差値について、難しい数式を使わずに、出来るだけわかりやすく説明してみたいと思う。

偏差値とは何か?

偏差値とは、テストの点数や身長・体重などの数値が、集団の中で平均値を中心にして、上や下へどれだけ隔たりがあるかを表す指標である。

一般的に、このようなばらつきのあるものは正規分布すると考えられている。学力テストにおいても正規分布に近似するという前提で、偏差値が計算されている。

さらに受験で用いられる偏差値では、平均値が偏差値=50となるように調整されており、ばらつきは標準化されている。

以降は、学力テストで用いられる偏差値について書く。

関連記事も参照:
・「偏差値と上位パーセントの対応表
・「偏差値と順位との対応

学力テストの偏差値

偏差値50は、平均値の位置にあり、順位としては全体の真ん中であることを意味する。ばらつきを表す標準偏差(シグマあるいはσ)が10となるように調整されている。

試験を受けた全員の得点を計算して、標準偏差が得られる。

標準偏差の求め方
受験者一人ずつの得点と平均点との差を二乗した数値を、全員分合計して、それを人数で割り、その平方根が標準偏差である。

標準偏差は、その得点のばらつきを表すもので、標準偏差が大きければ平均を中心としたばらつきが大きく、標準偏差が小さければばらつきが少ないということになる。

得点を全員分計算する必要があるので、受験者がテストの平均点と自分の得点だけしか知らされない場合には、標準偏差を知ることはできない。したがって、自分の偏差値を計算することはできない。

また、個々の受験者の偏差値は、次のように求められる。

個々の偏差値の求め方
( 得点 一 平均点 )÷ 標準偏差 × 10 + 50

資格認定や能力テストでも TOEIC Listening & Reading Test のように毎回の受験者の得点、分布、試験の標準偏差などが公開されているものもある。TOEICは、そもそも能力の結果を点数で通知することが目的で、合否というものはない。

TOEICの点数は偏差値ではないけれど、ある時期の700点とそれ以前の700点では、同じ点数であればほぼ同じ能力ということが示せるように標準化をしていることが売りになっている。

そういうわけなので、TOEICで公開される平均点と標準偏差というものは、おおよそ毎回近い数値になっており、それこそがテストが正しく設計されていることの証として示せるわけだから、なおのこときちんと公開しているのであろうと思う。

ここで、正規分布のグラフを示す。理想的な標本の分布を前提としているので、左右に均等に綺麗な形になっている。

このグラフでは、平均点を取る受験者が一番多く、左右に同じように広がっている。両極端もどんどんと少なくはなるがゼロにはならない。(実際のテストでは受験者が一定の数なので、両端には限りがある)

このグラフは正規分布グラフというもので、テスト結果がこのような分布をしていると仮定して計算される。

この図の40点から60点の間に入る確率は、68.27%である(これは平均点から上下に1標準偏差内(±σ)という意味である)。また、30点から80点の間に入る確率は、95.45%となる。

十分に受験者数が多くて、試験問題が学力のレベルを幅広く測れるようになっており、受験者も極端な偏りがない場合には、このようなグラフの形となるのだろう。

次に実際の入学試験の得点分布データについてみてみる。

次の記事:「都立高校入学試験の得点分布データについて


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