GPSはどうして位置が分かるのか？衛星測位システムの仕組み・計算方法はなぜ難しいの？

GPSなどの衛星測位システムでは、信号を受信した場所の位置や高度を、どのような仕組みで把握できるのか？

GPS測位の仕組み

アメリカのGPSも、ロシアのGLONASSも中国のBDSも基本的な仕組みは同じである。欧州のGalileoのように双方向のアクセスができるなどの付加価値があるシステムもあるが。

基本的な考え方は、以下の通りだ。

1. 衛星は、衛星自身の現在位置と送信時刻を送信する。

2. 地上側では、衛星の位置と送信時刻を受信して、受信時刻との差から距離を把握する。

3. 最低でも3つのGPS衛星の情報を受信することで、位置を特定する。

3つのGPSの電波を受信できると1点が求まるのであるが、30mを識別するためには受信した時刻を0.0000001秒で正確に把握できないとならない。これは通常の時計では無理なのだ。

4. 4つのGPS衛星の情報を受信することで、受信側に正確な時計がなくても位置を特定できる。連立方程式を解くのである。

位置情報の計算方法

衛星の位置は、基本地球の経度ゼロを原点とした南北に直行する座標で表現される。地球が動かないので、天動説の座標系と言える。

地上のどこにいても衛星との角度などを考える必要がないので、計算がしやすくなるのだ。

衛星iの座標を (x_i, y_i, z_i)、受信機の座標を (x,y,z) とすると、衛星iと受信機の距離r_iは次の通り。

$$r_{i} ＝ \sqrt { (x_{i}-x)^{2} + (y_{i}-y)^{2} + (z_{i}-z)^{2} } $$

4つの衛星から次のような値が得られたとすると、上記式が4つ並ぶのだが、ここに時間の誤差を織り込むと次のようになる。

$$r_{1} ＝ \sqrt { (x_{i}-x)^{2} + (y_{i}-y)^{2} + (z_{i}-z)^{2} } +c{\Delta}t $$
$$r_{2} ＝ \sqrt { (x_{i}-x)^{2} + (y_{i}-y)^{2} + (z_{i}-z)^{2} } +c{\Delta}t $$
$$r_{3} ＝ \sqrt { (x_{i}-x)^{2} + (y_{i}-y)^{2} + (z_{i}-z)^{2} } +c{\Delta}t $$
$$r_{4} ＝ \sqrt { (x_{i}-x)^{2} + (y_{i}-y)^{2} + (z_{i}-z)^{2} } +c{\Delta}t $$

時間の誤差が入り込んで来るので、予想値の周辺で最適解に調整する。GPS情報が5以上ある場合には、最小二乗法によって誤差を最小とする点を求める。